Riješi 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 5x^{2}+ax+bx-16. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -2.

$$a=-10 b=8$$

Ponovo napišite 5x^{2}-2x-16 kao \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Isključite 5x u prvoj i 8 drugoj grupi.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Izdvojite obični izraz x-2 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-2=0 i 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -2 i b, kao i -16 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Saberite 4 i 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Opozit broja -2 je 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±18}{10} kada je ± plus. Saberite 2 i 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Podijelite 20 sa 10.

$$x=2$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±18}{10} kada je ± minus. Oduzmite 18 od 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Svedite razlomak \frac{-16}{10} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Dodajte 16 na obje strane jednačine.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Oduzimanjem -16 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Oduzmite -16 od 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Podijelite -\frac{2}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{5}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{5} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{5} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Saberite \frac{16}{5} i \frac{1}{25} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Dodajte \frac{1}{5} na obje strane jednačine.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$