Riješi 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Riješite za x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -15.

$$-1,15 -3,5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 14.

$$a=-1 b=15$$

Ponovo napišite x^{2}+14x-15 kao \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Isključite x u prvoj i 15 drugoj grupi.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-1=0 i x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, 70 i b, kao i -75 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Saberite 4900 i 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-70±80}{10} kada je ± plus. Saberite -70 i 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Podijelite 10 sa 10.

$$x=1$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-70±80}{10} kada je ± minus. Oduzmite 80 od -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Podijelite -150 sa 10.

$$x=-15$$

Jednačina je riješena.

$$x=1 x=-15$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Dodajte 75 na obje strane jednačine.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Oduzimanjem -75 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Oduzmite -75 od 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Podijelite 70 sa 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Podijelite 75 sa 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Podijelite 14, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili 7. Zatim dodajte kvadrat od 7 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Izračunajte kvadrat od 7.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Saberite 15 i 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Faktor x^{2}+14x+49. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Pojednostavite.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Oduzmite 7 s obje strane jednačine.

$$x=1 x=-15$$