Riješi 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, 6 i b, kao i 10 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Saberite 36 i -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} kada je ± plus. Saberite -6 i 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Podijelite -6+2i\sqrt{41} sa 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} kada je ± minus. Oduzmite 2i\sqrt{41} od -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Podijelite -6-2i\sqrt{41} sa 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Oduzmite 10 s obje strane jednačine.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Oduzimanjem 10 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Podijelite -10 sa 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Podijelite \frac{6}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{3}{5}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{3}{5} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{3}{5} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Saberite -2 i \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Oduzmite \frac{3}{5} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$