Riješi 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, 3 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Saberite 9 i -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} kada je ± plus. Saberite -3 i i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} kada je ± minus. Oduzmite i\sqrt{11} od -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Podijelite \frac{3}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{3}{10}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{3}{10} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{3}{10} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Saberite -\frac{1}{5} i \frac{9}{100} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Faktorirajte x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Oduzmite \frac{3}{10} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$