Riješi 5x^2+10x=75

$$5 x ^ { 2 } + 10 x = 75$$

Riješite za x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 75 s obje strane.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Podijelite obje strane s 5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -15.

$$-1,15 -3,5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 2.

$$a=-3 b=5$$

Ponovo napišite x^{2}+2x-15 kao \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Isključite x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Izdvojite obični izraz x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-3=0 i x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}+10x=75$$

Oduzmite 75 s obje strane jednačine.

$$5x^{2}+10x-75=75-75$$

Oduzimanjem 75 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, 10 i b, kao i -75 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Saberite 100 i 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1600.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-10±40}{10} kada je ± plus. Saberite -10 i 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Podijelite 30 sa 10.

$$x=3$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-10±40}{10} kada je ± minus. Oduzmite 40 od -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Podijelite -50 sa 10.

$$x=-5$$

Jednačina je riješena.

$$x=3 x=-5$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x=75$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

Podijelite 10 sa 5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

Podijelite 75 sa 5.

$$x^{2}+2x=15$$

Podijelite 2, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili 1. Zatim dodajte kvadrat od 1 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Izračunajte kvadrat od 1.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Saberite 15 i 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Pojednostavite.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$x=3 x=-5$$