Riješi 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Riješite za t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -72 i b, kao i -108 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Saberite 5184 i 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Opozit broja -72 je 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} kada je ± plus. Saberite 72 i 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Podijelite 72+12\sqrt{51} sa 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} kada je ± minus. Oduzmite 12\sqrt{51} od 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Podijelite 72-12\sqrt{51} sa 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Dodajte 108 na obje strane jednačine.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Oduzimanjem -108 od samog sebe ostaje 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Oduzmite -108 od 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Podijelite -\frac{72}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{36}{5}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{36}{5} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{36}{5} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Saberite \frac{108}{5} i \frac{1296}{25} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Faktor t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Pojednostavite.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Dodajte \frac{36}{5} na obje strane jednačine.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$