Riješi 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Riješite za y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -90 i b, kao i 54 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Saberite 8100 i -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Opozit broja -90 je 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} kada je ± plus. Saberite 90 i 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Podijelite 90+6\sqrt{195} sa 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} kada je ± minus. Oduzmite 6\sqrt{195} od 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Podijelite 90-6\sqrt{195} sa 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Jednačina je riješena.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Oduzmite 54 s obje strane jednačine.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Oduzimanjem 54 od samog sebe ostaje 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Podijelite -90 sa 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Podijelite -18, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -9. Zatim dodajte kvadrat od -9 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Saberite -\frac{54}{5} i 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Faktor y^{2}-18y+81. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Pojednostavite.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Dodajte 9 na obje strane jednačine.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$