Riješi 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 5x^{2}+ax+bx-2184. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-105 b=104$$

Ponovo napišite 5x^{2}-x-2184 kao \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Isključite 5x u prvoj i 104 drugoj grupi.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Izdvojite obični izraz x-21 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-21=0 i 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -1 i b, kao i -2184 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Saberite 1 i 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±209}{10} kada je ± plus. Saberite 1 i 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Podijelite 210 sa 10.

$$x=21$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±209}{10} kada je ± minus. Oduzmite 209 od 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Svedite razlomak \frac{-208}{10} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Dodajte 2184 na obje strane jednačine.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Oduzimanjem -2184 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Oduzmite -2184 od 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Podijelite -\frac{1}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{10}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{10} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{10} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Saberite \frac{2184}{5} i \frac{1}{100} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Dodajte \frac{1}{10} na obje strane jednačine.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$