Riješi 4x-3x^2+15=0

$$4x-3 { x }^{ 2 } +15=0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao -3x^{2}+ax+bx+15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 4.

$$a=9 b=-5$$

Ponovo napišite -3x^{2}+4x+15 kao \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

Izdvojite obični izraz -x+3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite -x+3=0 i 3x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -3 i a, 4 i b, kao i 15 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite -4 i -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 12 i 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

Saberite 16 i 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 196.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 2 i -3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±14}{-6} kada je ± plus. Saberite -4 i 14.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Svedite razlomak \frac{10}{-6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±14}{-6} kada je ± minus. Oduzmite 14 od -4.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Podijelite -18 sa -6.

$$x=3$$

Jednačina je riješena.

$$x=-\frac{5}{3} x=3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Oduzmite 15 s obje strane jednačine.

$$-3x^{2}+4x+15-15=-15$$

Oduzimanjem 15 od samog sebe ostaje 0.

$$-3x^{2}+4x=-15$$

Podijelite obje strane s -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{15}{-3}$$

Dijelјenje sa -3 poništava množenje sa -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{15}{-3}$$

Podijelite 4 sa -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{15}{-3}$$

Podijelite -15 sa -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

Podijelite -\frac{4}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{2}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{2}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{2}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Saberite 5 i \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dodajte \frac{2}{3} na obje strane jednačine.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$