Riješi 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Riješite za t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao t^{2}+at+bt-4. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -4.

$$1,-4 2,-2$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -3.

$$a=-4 b=1$$

Ponovo napišite t^{2}-3t-4 kao \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Izdvojite t iz t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Izdvojite obični izraz t-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t-4=0 i t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 49 i a, -147 i b, kao i -196 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Izračunajte kvadrat od -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Pomnožite -4 i 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Pomnožite -196 i -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Saberite 21609 i 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

Opozit broja -147 je 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Pomnožite 2 i 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{147±245}{98} kada je ± plus. Saberite 147 i 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Podijelite 392 sa 98.

$$t=4$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{147±245}{98} kada je ± minus. Oduzmite 245 od 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Podijelite -98 sa 98.

$$t=-1$$

Jednačina je riješena.

$$t=4 t=-1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Dodajte 196 na obje strane jednačine.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Oduzimanjem -196 od samog sebe ostaje 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Oduzmite -196 od 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Podijelite obje strane s 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Dijelјenje sa 49 poništava množenje sa 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Podijelite -147 sa 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Podijelite 196 sa 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Podijelite -3, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{3}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{3}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{3}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Saberite 4 i \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Pojednostavite.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Dodajte \frac{3}{2} na obje strane jednačine.

$$t=4 t=-1$$