Riješi 48x^2+24x-1geq0

$$48 x ^ { 2 } + 24 x - 1 \geq 0$$

Riješite za x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}]\cup [\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4},\infty)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$48x^{2}+24x-1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 48 sa a, 24 sa b i -1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 48\left(-1\right)}}{2\times 48}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{-24±16\sqrt{3}}{96}$$

Riješite jednačinu x=\frac{-24±16\sqrt{3}}{96} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4} x=-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$48\left(x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\right)\geq 0$$

Da bi proizvod bio ≥0, obje vrijednosti x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) i x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) moraju biti ≤0 ili ≥0. Razmotrite slučaj kad su x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) i x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\leq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x\leq -\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}.

$$x\leq -\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$

Razmotrite slučaj kad su x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) i x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\geq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x\geq \frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x\leq -\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$