Riješi 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 42x^{2}+ax+bx-3. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -5.

$$a=-14 b=9$$

Ponovo napišite 42x^{2}-5x-3 kao \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Isključite 14x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-1=0 i 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 42 i a, -5 i b, kao i -3 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Izračunajte kvadrat od -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Pomnožite -4 i 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Pomnožite -168 i -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Saberite 25 i 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Opozit broja -5 je 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Pomnožite 2 i 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±23}{84} kada je ± plus. Saberite 5 i 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Svedite razlomak \frac{28}{84} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±23}{84} kada je ± minus. Oduzmite 23 od 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Svedite razlomak \frac{-18}{84} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Dodajte 3 na obje strane jednačine.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Oduzimanjem -3 od samog sebe ostaje 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Oduzmite -3 od 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Podijelite obje strane s 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Dijelјenje sa 42 poništava množenje sa 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Svedite razlomak \frac{3}{42} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Podijelite -\frac{5}{42}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{84}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{84} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{84} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Saberite \frac{1}{14} i \frac{25}{7056} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Dodajte \frac{5}{84} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$