Riješi 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Riješite za x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 40x^{2}+ax+bx+1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -14.

$$a=-10 b=-4$$

Ponovo napišite 40x^{2}-14x+1 kao \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Isključite 10x u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz 4x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 4x-1=0 i 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 40 i a, -14 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Izračunajte kvadrat od -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Pomnožite -4 i 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Saberite 196 i -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Opozit broja -14 je 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Pomnožite 2 i 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±6}{80} kada je ± plus. Saberite 14 i 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Svedite razlomak \frac{20}{80} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±6}{80} kada je ± minus. Oduzmite 6 od 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Svedite razlomak \frac{8}{80} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Podijelite obje strane s 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Dijelјenje sa 40 poništava množenje sa 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Svedite razlomak \frac{-14}{40} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Podijelite -\frac{7}{20}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{40}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{40} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{40} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Saberite -\frac{1}{40} i \frac{49}{1600} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Dodajte \frac{7}{40} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$