Riješi 49x^2-416x+102=0

$$49 x ^ { 2 } - 416 x + 102 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{19 \sqrt{106} + 208}{49} \approx 8,237081075$$

$$x=\frac{208-19\sqrt{106}}{49}\approx 0,252714843$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$49x^{2}-416x+102=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 49 i a, -416 i b, kao i 102 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-416\right)±\sqrt{\left(-416\right)^{2}-4\times 49\times 102}}{2\times 49}$$

Izračunajte kvadrat od -416.

$$x=\frac{-\left(-416\right)±\sqrt{173056-4\times 49\times 102}}{2\times 49}$$

Pomnožite -4 i 49.

$$x=\frac{-\left(-416\right)±\sqrt{173056-196\times 102}}{2\times 49}$$

Pomnožite -196 i 102.

$$x=\frac{-\left(-416\right)±\sqrt{173056-19992}}{2\times 49}$$

Saberite 173056 i -19992.

$$x=\frac{-\left(-416\right)±\sqrt{153064}}{2\times 49}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 153064.

$$x=\frac{-\left(-416\right)±38\sqrt{106}}{2\times 49}$$

Opozit broja -416 je 416.

$$x=\frac{416±38\sqrt{106}}{2\times 49}$$

Pomnožite 2 i 49.

$$x=\frac{416±38\sqrt{106}}{98}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{416±38\sqrt{106}}{98} kada je ± plus. Saberite 416 i 38\sqrt{106}.

$$x=\frac{38\sqrt{106}+416}{98}$$

Podijelite 416+38\sqrt{106} sa 98.

$$x=\frac{19\sqrt{106}+208}{49}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{416±38\sqrt{106}}{98} kada je ± minus. Oduzmite 38\sqrt{106} od 416.

$$x=\frac{416-38\sqrt{106}}{98}$$

Podijelite 416-38\sqrt{106} sa 98.

$$x=\frac{208-19\sqrt{106}}{49}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{19\sqrt{106}+208}{49} x=\frac{208-19\sqrt{106}}{49}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}-416x+102=0$$

Oduzmite 102 s obje strane jednačine.

$$49x^{2}-416x+102-102=-102$$

Oduzimanjem 102 od samog sebe ostaje 0.

$$49x^{2}-416x=-102$$

Podijelite obje strane s 49.

$$\frac{49x^{2}-416x}{49}=-\frac{102}{49}$$

Dijelјenje sa 49 poništava množenje sa 49.

$$x^{2}-\frac{416}{49}x=-\frac{102}{49}$$

Podijelite -\frac{416}{49}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{208}{49}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{208}{49} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{416}{49}x+\left(-\frac{208}{49}\right)^{2}=-\frac{102}{49}+\left(-\frac{208}{49}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{208}{49} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{416}{49}x+\frac{43264}{2401}=-\frac{102}{49}+\frac{43264}{2401}$$

Saberite -\frac{102}{49} i \frac{43264}{2401} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{416}{49}x+\frac{43264}{2401}=\frac{38266}{2401}$$

Faktor x^{2}-\frac{416}{49}x+\frac{43264}{2401}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{208}{49}\right)^{2}=\frac{38266}{2401}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{208}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{38266}{2401}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{208}{49}=\frac{19\sqrt{106}}{49} x-\frac{208}{49}=-\frac{19\sqrt{106}}{49}$$

Dodajte \frac{208}{49} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{19\sqrt{106}+208}{49} x=\frac{208-19\sqrt{106}}{49}$$