Riješi 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Riješite za y

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4y^{2}+ay+by+2. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -9.

$$a=-8 b=-1$$

Ponovo napišite 4y^{2}-9y+2 kao \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Isključite 4y u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Izdvojite obični izraz y-2 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite y-2=0 i 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -9 i b, kao i 2 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Saberite 81 i -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Opozit broja -9 je 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{9±7}{8} kada je ± plus. Saberite 9 i 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Podijelite 16 sa 8.

$$y=2$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{9±7}{8} kada je ± minus. Oduzmite 7 od 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Svedite razlomak \frac{2}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Oduzmite 2 s obje strane jednačine.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Oduzimanjem 2 od samog sebe ostaje 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-2}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Podijelite -\frac{9}{4}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{9}{8}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{9}{8} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{9}{8} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Saberite -\frac{1}{2} i \frac{81}{64} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktor y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Pojednostavite.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Dodajte \frac{9}{8} na obje strane jednačine.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$