Riješi 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Riješite za x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$4x-y=5$$

Dodajte y na obje strane jednačine.

$$4x=y+5$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} i y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Zamijenite \frac{5+y}{4} za x u drugoj jednačini, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Pomnožite -4 i \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Saberite -y i 5y.

$$4y-5=7$$

Dodajte 5 na obje strane jednačine.

$$4y=12$$

Podijelite obje strane s 4.

$$y=3$$

Zamijenite 3 za y u x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Saberite \frac{5}{4} i \frac{3}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=2$$

Sistem je riješen.

$$x=2,y=3$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=2,y=3$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Da bi 4x i -4x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa -4 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Pojednostavite.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Oduzmite -16x+20y=28 od -16x+4y=-20 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Saberite -16x i 16x. Izrazi -16x i 16x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$4y-20y=-20-28$$

Saberite 4y i -20y.

$$-16y=-20-28$$

Saberite -20 i -28.

$$-16y=-48$$

Podijelite obje strane s -16.

$$y=3$$

Zamijenite 3 za y u -4x+5y=7. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Pomnožite 5 i 3.

$$-4x+15=7$$

Oduzmite 15 s obje strane jednačine.

$$-4x=-8$$

Podijelite obje strane s -4.

$$x=2$$

Sistem je riješen.

$$x=2,y=3$$