Riješi 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Riješite za x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$4x-5y=2$$

Dodajte 5y na obje strane jednačine.

$$4x=5y+2$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Zamijenite \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} za x u drugoj jednačini, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Saberite \frac{5y}{4} i 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{45}{4}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=\frac{18}{5}$$

Zamijenite \frac{18}{5} za y u x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Pomnožite \frac{5}{4} i \frac{18}{5} tako što ćete pomnožiti brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. Zatim reducirajte razlomak na najniže termine ako je moguće.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Saberite \frac{1}{2} i \frac{9}{2} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=5$$

Sistem je riješen.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Da bi 4x i x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 1 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Pojednostavite.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Oduzmite 4x+40y=164 od 4x-5y=2 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Saberite 4x i -4x. Izrazi 4x i -4x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-5y-40y=2-164$$

Saberite -5y i -40y.

$$-45y=2-164$$

Saberite 2 i -164.

$$-45y=-162$$

Podijelite obje strane s -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Zamijenite \frac{18}{5} za y u x+10y=41. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Pomnožite 10 i \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Oduzmite 36 s obje strane jednačine.

$$x=5$$

Sistem je riješen.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$