Riješi 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Riješite za x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$4x-5y=-14$$

Dodajte 5y na obje strane jednačine.

$$4x=5y-14$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Zamijenite \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} za x u drugoj jednačini, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Pomnožite 7 i \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Saberite \frac{35y}{4} i y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Dodajte \frac{49}{2} na obje strane jednačine.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{39}{4}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=2$$

Zamijenite 2 za y u x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Pomnožite \frac{5}{4} i 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Saberite -\frac{7}{2} i \frac{5}{2} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=-1$$

Sistem je riješen.

$$x=-1,y=2$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-1,y=2$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Da bi 4x i 7x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 7 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Pojednostavite.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Oduzmite 28x+4y=-20 od 28x-35y=-98 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Saberite 28x i -28x. Izrazi 28x i -28x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-35y-4y=-98+20$$

Saberite -35y i -4y.

$$-39y=-98+20$$

Saberite -98 i 20.

$$-39y=-78$$

Podijelite obje strane s -39.

$$y=2$$

Zamijenite 2 za y u 7x+y=-5. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$7x+2=-5$$

Oduzmite 2 s obje strane jednačine.

$$7x=-7$$

Podijelite obje strane s 7.

$$x=-1$$

Sistem je riješen.

$$x=-1,y=2$$