Riješi 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Riješite za x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$4x-3y=2$$

Dodajte 3y na obje strane jednačine.

$$4x=3y+2$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Zamijenite \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} za x u drugoj jednačini, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Saberite \frac{3y}{4} i 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{23}{4}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=-2$$

Zamijenite -2 za y u x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Pomnožite \frac{3}{4} i -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Saberite \frac{1}{2} i -\frac{3}{2} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=-1$$

Sistem je riješen.

$$x=-1,y=-2$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-1,y=-2$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Da bi 4x i x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 1 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Pojednostavite.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Oduzmite 4x+20y=-44 od 4x-3y=2 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Saberite 4x i -4x. Izrazi 4x i -4x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-3y-20y=2+44$$

Saberite -3y i -20y.

$$-23y=2+44$$

Saberite 2 i 44.

$$-23y=46$$

Podijelite obje strane s -23.

$$y=-2$$

Zamijenite -2 za y u x+5y=-11. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Pomnožite 5 i -2.

$$x-10=-11$$

Dodajte 10 na obje strane jednačine.

$$x=-1$$

Sistem je riješen.

$$x=-1,y=-2$$