Riješi 4x(x+3)+(x+2)(x-2)=(2x+3)^2+x-1

$$4 x ( x + 3 ) + ( x + 2 ) ( x - 2 ) = ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } + x - 1$$

Riješite za x

$$x=-3$$

$$x=4$$

Koraci koji koriste faktoring

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 4x sa x+3.

$$4x^{2}+12x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Razmotrite \left(x+2\right)\left(x-2\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 2.

$$4x^{2}+12x+x^{2}-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Kombinirajte 4x^{2} i x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+3\right)^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+12x+9+x-1$$

Kombinirajte 12x i x da biste dobili 13x.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+9-1$$

Oduzmite 1 od 9 da biste dobili 8.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+8$$

Oduzmite 4x^{2} s obje strane.

$$5x^{2}+12x-4-4x^{2}=13x+8$$

Kombinirajte 5x^{2} i -4x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{2}+12x-4=13x+8$$

Oduzmite 13x s obje strane.

$$x^{2}+12x-4-13x=8$$

Kombinirajte 12x i -13x da biste dobili -x.

$$x^{2}-x-4=8$$

Oduzmite 8 s obje strane.

$$x^{2}-x-4-8=0$$

Oduzmite 8 od -4 da biste dobili -12.

$$x^{2}-x-12=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-x-12 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=-12$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-4 b=3$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-4=0 i x+3=0.

$$x=4 x=-3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 4x sa x+3.

$$4x^{2}+12x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Razmotrite \left(x+2\right)\left(x-2\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 2.

$$4x^{2}+12x+x^{2}-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Kombinirajte 4x^{2} i x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+3\right)^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+12x+9+x-1$$

Kombinirajte 12x i x da biste dobili 13x.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+9-1$$

Oduzmite 1 od 9 da biste dobili 8.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+8$$

Oduzmite 4x^{2} s obje strane.

$$5x^{2}+12x-4-4x^{2}=13x+8$$

Kombinirajte 5x^{2} i -4x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{2}+12x-4=13x+8$$

Oduzmite 13x s obje strane.

$$x^{2}+12x-4-13x=8$$

Kombinirajte 12x i -13x da biste dobili -x.

$$x^{2}-x-4=8$$

Oduzmite 8 s obje strane.

$$x^{2}-x-4-8=0$$

Oduzmite 8 od -4 da biste dobili -12.

$$x^{2}-x-12=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-12. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-4 b=3$$

Ponovo napišite x^{2}-x-12 kao \left(x^{2}-4x\right)+\left(3x-12\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(3x-12\right)$$

Isključite x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$x\left(x-4\right)+3\left(x-4\right)$$

Izdvojite obični izraz x-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-4=0 i x+3=0.

$$x=4 x=-3$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 4x sa x+3.

$$4x^{2}+12x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Razmotrite \left(x+2\right)\left(x-2\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 2.

$$4x^{2}+12x+x^{2}-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Kombinirajte 4x^{2} i x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+3\right)^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+12x+9+x-1$$

Kombinirajte 12x i x da biste dobili 13x.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+9-1$$

Oduzmite 1 od 9 da biste dobili 8.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+8$$

Oduzmite 4x^{2} s obje strane.

$$5x^{2}+12x-4-4x^{2}=13x+8$$

Kombinirajte 5x^{2} i -4x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{2}+12x-4=13x+8$$

Oduzmite 13x s obje strane.

$$x^{2}+12x-4-13x=8$$

Kombinirajte 12x i -13x da biste dobili -x.

$$x^{2}-x-4=8$$

Oduzmite 8 s obje strane.

$$x^{2}-x-4-8=0$$

Oduzmite 8 od -4 da biste dobili -12.

$$x^{2}-x-12=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -1 i b, kao i -12 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-12\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2}$$

Saberite 1 i 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$x=\frac{1±7}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±7}{2} kada je ± plus. Saberite 1 i 7.

$$x=\frac{8}{2}$$

Podijelite 8 sa 2.

$$x=4$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±7}{2} kada je ± minus. Oduzmite 7 od 1.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Podijelite -6 sa 2.

$$x=-3$$

Jednačina je riješena.

$$x=4 x=-3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 4x sa x+3.

$$4x^{2}+12x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Razmotrite \left(x+2\right)\left(x-2\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 2.

$$4x^{2}+12x+x^{2}-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Kombinirajte 4x^{2} i x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+3\right)^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+12x+9+x-1$$

Kombinirajte 12x i x da biste dobili 13x.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+9-1$$

Oduzmite 1 od 9 da biste dobili 8.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+8$$

Oduzmite 4x^{2} s obje strane.

$$5x^{2}+12x-4-4x^{2}=13x+8$$

Kombinirajte 5x^{2} i -4x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{2}+12x-4=13x+8$$

Oduzmite 13x s obje strane.

$$x^{2}+12x-4-13x=8$$

Kombinirajte 12x i -13x da biste dobili -x.

$$x^{2}-x-4=8$$

Dodajte 4 na obje strane.

$$x^{2}-x=8+4$$

Saberite 8 i 4 da biste dobili 12.

$$x^{2}-x=12$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Saberite 12 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=4 x=-3$$