Riješi 4x^3-100x^2+3x-75=0

$$4 x ^ { 3 } - 100 x ^ { 2 } + 3 x - 75 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{2}\approx 0,866025404i$$

$$x=25$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\approx -0-0,866025404i$$

Koraci za rješenje

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -75 i q dijeli uvodni koeficijent 4. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±\frac{75}{4},±\frac{75}{2},±75,±\frac{25}{4},±\frac{25}{2},±25,±\frac{15}{4},±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{4},±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=25$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite 4x^{3}-100x^{2}+3x-75 sa x-25 da biste dobili 4x^{2}+3. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$4x^{2}+3=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 4 sa a, 0 sa b i 3 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{8}$$

Riješite jednačinu 4x^{2}+3=0 kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{2} x=\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=25 x=-\frac{\sqrt{3}i}{2} x=\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Riješite za x

$$x=25$$

Koraci za rješenje

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -75 i q dijeli uvodni koeficijent 4. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±\frac{75}{4},±\frac{75}{2},±75,±\frac{25}{4},±\frac{25}{2},±25,±\frac{15}{4},±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{4},±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=25$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite 4x^{3}-100x^{2}+3x-75 sa x-25 da biste dobili 4x^{2}+3. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$4x^{2}+3=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 4 sa a, 0 sa b i 3 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{8}$$

Budući da kvadratni korijen negativnog broja nije definiran u realnom polju, nema rješenja.

$$x\in \emptyset$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=25$$