Riješi 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -5 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Saberite 25 i 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Opozit broja -5 je 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} kada je ± plus. Saberite 5 i \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} kada je ± minus. Oduzmite \sqrt{41} od 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Podijelite -\frac{5}{4}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{8}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{8} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{8} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Saberite \frac{1}{4} i \frac{25}{64} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Dodajte \frac{5}{8} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$