Riješi 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Riješite za x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4x^{2}+ax+bx+1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -5.

$$a=-4 b=-1$$

Ponovo napišite 4x^{2}-5x+1 kao \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Isključite 4x u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-1=0 i 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -5 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Saberite 25 i -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Opozit broja -5 je 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±3}{8} kada je ± plus. Saberite 5 i 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Podijelite 8 sa 8.

$$x=1$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±3}{8} kada je ± minus. Oduzmite 3 od 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Svedite razlomak \frac{2}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Podijelite -\frac{5}{4}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{8}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{8} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{8} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Saberite -\frac{1}{4} i \frac{25}{64} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Dodajte \frac{5}{8} na obje strane jednačine.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$