Riješi 4x^2-4x-3=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x - 3 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4x^{2}+ax+bx-3. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -4.

$$a=-6 b=2$$

Ponovo napišite 4x^{2}-4x-3 kao \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

Izdvojite 2x iz 4x^{2}-6x.

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Izdvojite obični izraz 2x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-3=0 i 2x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -4 i b, kao i -3 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Saberite 16 i 48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

Opozit broja -4 je 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{4±8}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±8}{8} kada je ± plus. Saberite 4 i 8.

$$x=\frac{12}{8}$$

Svedite razlomak \frac{12}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±8}{8} kada je ± minus. Oduzmite 8 od 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-4}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Dodajte 3 na obje strane jednačine.

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Oduzimanjem -3 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

Oduzmite -3 od 0.

$$4x^{2}-4x=3$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Podijelite -4 sa 4.

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Saberite \frac{3}{4} i \frac{1}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$