Riješi 4x^2-4x-23=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x - 23 = 0$$

Riješite za x

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2}\approx 2,949489743$$

$$x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}\approx -1,949489743$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-4x-23=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -4 i b, kao i -23 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -23.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+368}}{2\times 4}$$

Saberite 16 i 368.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{384}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 384.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Opozit broja -4 je 4.

$$x=\frac{4±8\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8} kada je ± plus. Saberite 4 i 8\sqrt{6}.

$$x=\frac{8\sqrt{6}+4}{8}$$

Podijelite 4+8\sqrt{6} sa 8.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8} kada je ± minus. Oduzmite 8\sqrt{6} od 4.

$$x=\frac{4-8\sqrt{6}}{8}$$

Podijelite 4-8\sqrt{6} sa 8.

$$x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-23=0$$

Dodajte 23 na obje strane jednačine.

$$4x^{2}-4x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Oduzimanjem -23 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-23\right)$$

Oduzmite -23 od 0.

$$4x^{2}-4x=23$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{23}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{23}{4}$$

Podijelite -4 sa 4.

$$x^{2}-x=\frac{23}{4}$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{23}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{23+1}{4}$$

Saberite \frac{23}{4} i \frac{1}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=6$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=6$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\sqrt{6} x-\frac{1}{2}=-\sqrt{6}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$