Riješi 4x^2-3x-54=0

$$4 x ^ { 2 } - 3 x - 54 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{3 \sqrt{97} + 3}{8} \approx 4,068321676$$

$$x=\frac{3-3\sqrt{97}}{8}\approx -3,318321676$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-3x-54=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -3 i b, kao i -54 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-54\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-54\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-54\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -54.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+864}}{2\times 4}$$

Saberite 9 i 864.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{873}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 873.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{97}}{2\times 4}$$

Opozit broja -3 je 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{97}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{3±3\sqrt{97}}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{3±3\sqrt{97}}{8} kada je ± plus. Saberite 3 i 3\sqrt{97}.

$$x=\frac{3\sqrt{97}+3}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{3±3\sqrt{97}}{8} kada je ± minus. Oduzmite 3\sqrt{97} od 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{97}}{8}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{3\sqrt{97}+3}{8} x=\frac{3-3\sqrt{97}}{8}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-3x-54=0$$

Dodajte 54 na obje strane jednačine.

$$4x^{2}-3x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Oduzimanjem -54 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-3x=-\left(-54\right)$$

Oduzmite -54 od 0.

$$4x^{2}-3x=54$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=\frac{54}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{54}{4}$$

Svedite razlomak \frac{54}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{27}{2}$$

Podijelite -\frac{3}{4}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{3}{8}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{3}{8} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{27}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{3}{8} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{27}{2}+\frac{9}{64}$$

Saberite \frac{27}{2} i \frac{9}{64} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{873}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{873}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{873}{64}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{3\sqrt{97}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{3\sqrt{97}}{8}$$

Dodajte \frac{3}{8} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{3\sqrt{97}+3}{8} x=\frac{3-3\sqrt{97}}{8}$$