Riješi 4x^2-2x=1

$$4 x ^ { 2 } - 2 x = 1$$

Riješite za x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-2x=1$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}-2x-1=1-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -2 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 4}$$

Saberite 4 i 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Opozit broja -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} kada je ± plus. Saberite 2 i 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$$

Podijelite 2+2\sqrt{5} sa 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{5} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{8}$$

Podijelite 2-2\sqrt{5} sa 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x=1$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{1}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-2}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Podijelite -\frac{1}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Saberite \frac{1}{4} i \frac{1}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Dodajte \frac{1}{4} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$