Riješi 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -18 i b, kao i 5 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Saberite 324 i -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Opozit broja -18 je 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} kada je ± plus. Saberite 18 i 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Podijelite 18+2\sqrt{61} sa 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{61} od 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Podijelite 18-2\sqrt{61} sa 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Oduzmite 5 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Oduzimanjem 5 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-18}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Podijelite -\frac{9}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{9}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{9}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{9}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Saberite -\frac{5}{4} i \frac{81}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Faktorirajte x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Dodajte \frac{9}{4} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$