Riješi 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-14x=9$$

Oduzmite 9 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Oduzimanjem 9 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -14 i b, kao i -9 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Saberite 196 i 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Opozit broja -14 je 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} kada je ± plus. Saberite 14 i 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Podijelite 14+2\sqrt{85} sa 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{85} od 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Podijelite 14-2\sqrt{85} sa 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-14}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Podijelite -\frac{7}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Saberite \frac{9}{4} i \frac{49}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Dodajte \frac{7}{4} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$