Riješi 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Oduzmite 16 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Oduzimanjem 16 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Oduzmite 16 od 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -11 i b, kao i 14 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Saberite 121 i -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Opozit broja -11 je 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} kada je ± plus. Saberite 11 i i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} kada je ± minus. Oduzmite i\sqrt{103} od 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Oduzmite 30 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Oduzimanjem 30 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Oduzmite 30 od 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-14}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Podijelite -\frac{11}{4}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{11}{8}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{11}{8} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{11}{8} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Saberite -\frac{7}{2} i \frac{121}{64} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Dodajte \frac{11}{8} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$