Riješi 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4x^{2}+ax+bx-81. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 48.

$$a=-6 b=54$$

Ponovo napišite 4x^{2}+48x-81 kao \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 27 drugoj grupi.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Izdvojite obični izraz 2x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-3=0 i 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, 48 i b, kao i -81 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Saberite 2304 i 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-48±60}{8} kada je ± plus. Saberite -48 i 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Svedite razlomak \frac{12}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-48±60}{8} kada je ± minus. Oduzmite 60 od -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-108}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Dodajte 81 na obje strane jednačine.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Oduzimanjem -81 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Oduzmite -81 od 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Podijelite 48 sa 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Podijelite 12, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili 6. Zatim dodajte kvadrat od 6 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Izračunajte kvadrat od 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Saberite \frac{81}{4} i 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Faktorirajte x^{2}+12x+36. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Oduzmite 6 s obje strane jednačine.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$