Riješi 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, 4 i b, kao i 9 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Saberite 16 i -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} kada je ± plus. Saberite -4 i 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Podijelite -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} sa 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} kada je ± minus. Oduzmite 8i\sqrt{2} od -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Podijelite -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} sa 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Oduzmite 9 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Oduzimanjem 9 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Podijelite 4 sa 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Podijelite 1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Saberite -\frac{9}{4} i \frac{1}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$