Riješi 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4x^{2}+ax+bx+1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 4.

$$1,4 2,2$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+4=5 2+2=4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 4.

$$a=2 b=2$$

Ponovo napišite 4x^{2}+4x+1 kao \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Izdvojite 2x iz 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Izdvojite obični izraz 2x+1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, 4 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Saberite 16 i -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-4}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Podijelite 4 sa 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Podijelite 1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Saberite -\frac{1}{4} i \frac{1}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Jednačina je riješena. Rješenja su ista.

$$x=-\frac{1}{2}$$