Riješi 4x^2+110x+25=0

$$4 x ^ { 2 } + 110 x + 25 = 0$$

Riješite za x

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}\approx -0,229182717$$

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}\approx -27,270817283$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, 110 i b, kao i 25 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od 110.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-16\times 25}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i 25.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-400}}{2\times 4}$$

Saberite 12100 i -400.

$$x=\frac{-110±\sqrt{11700}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 11700.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} kada je ± plus. Saberite -110 i 30\sqrt{13}.

$$x=\frac{30\sqrt{13}-110}{8}$$

Podijelite -110+30\sqrt{13} sa 8.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} kada je ± minus. Oduzmite 30\sqrt{13} od -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{13}-110}{8}$$

Podijelite -110-30\sqrt{13} sa 8.

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Oduzmite 25 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}+110x+25-25=-25$$

Oduzimanjem 25 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}+110x=-25$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}+110x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\frac{110}{4}x=-\frac{25}{4}$$

Svedite razlomak \frac{110}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x=-\frac{25}{4}$$

Podijelite \frac{55}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{55}{4}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{55}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{55}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=-\frac{25}{4}+\frac{3025}{16}$$

Saberite -\frac{25}{4} i \frac{3025}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=\frac{2925}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}=\frac{2925}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2925}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{55}{4}=\frac{15\sqrt{13}}{4} x+\frac{55}{4}=-\frac{15\sqrt{13}}{4}$$

Oduzmite \frac{55}{4} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$