Riješi 4v^2+44v+121=0

$$4 v ^ { 2 } + 44 v + 121 = 0$$

Riješite za v

$$v = -\frac{11}{2} = -5\frac{1}{2} = -5,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4v^{2}+av+bv+121. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=44 ab=4\times 121=484$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 484.

$$1,484 2,242 4,121 11,44 22,22$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+484=485 2+242=244 4+121=125 11+44=55 22+22=44$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 44.

$$a=22 b=22$$

Ponovo napišite 4v^{2}+44v+121 kao \left(4v^{2}+22v\right)+\left(22v+121\right).

$$\left(4v^{2}+22v\right)+\left(22v+121\right)$$

Isključite 2v u prvoj i 11 drugoj grupi.

$$2v\left(2v+11\right)+11\left(2v+11\right)$$

Izdvojite obični izraz 2v+11 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2v+11\right)\left(2v+11\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(2v+11\right)^{2}$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2v+11=0.

$$v=-\frac{11}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4v^{2}+44v+121=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, 44 i b, kao i 121 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\times 4\times 121}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od 44.

$$v=\frac{-44±\sqrt{1936-4\times 4\times 121}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$v=\frac{-44±\sqrt{1936-16\times 121}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i 121.

$$v=\frac{-44±\sqrt{1936-1936}}{2\times 4}$$

Saberite 1936 i -1936.

$$v=\frac{-44±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$v=-\frac{44}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$v=-\frac{44}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-44}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$v=-\frac{11}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4v^{2}+44v+121=0$$

Oduzmite 121 s obje strane jednačine.

$$4v^{2}+44v+121-121=-121$$

Oduzimanjem 121 od samog sebe ostaje 0.

$$4v^{2}+44v=-121$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4v^{2}+44v}{4}=-\frac{121}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$v^{2}+\frac{44}{4}v=-\frac{121}{4}$$

Podijelite 44 sa 4.

$$v^{2}+11v=-\frac{121}{4}$$

Podijelite 11, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{11}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{11}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$v^{2}+11v+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-\frac{121}{4}+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{11}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$v^{2}+11v+\frac{121}{4}=\frac{-121+121}{4}$$

Saberite -\frac{121}{4} i \frac{121}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$v^{2}+11v+\frac{121}{4}=0$$

Faktor v^{2}+11v+\frac{121}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{11}{2}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(v+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavite.

$$v+\frac{11}{2}=0 v+\frac{11}{2}=0$$

Oduzmite \frac{11}{2} s obje strane jednačine.

$$v=-\frac{11}{2} v=-\frac{11}{2}$$

Jednačina je riješena. Rješenja su ista.

$$v=-\frac{11}{2}$$