Riješi 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Riješite za n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 11 s obje strane.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4n^{2}+an+bn-11. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -7.

$$a=-11 b=4$$

Ponovo napišite 4n^{2}-7n-11 kao \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Izdvojite n iz 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Izdvojite obični izraz 4n-11 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 4n-11=0 i n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4n^{2}-7n=11$$

Oduzmite 11 s obje strane jednačine.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Oduzimanjem 11 od samog sebe ostaje 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -7 i b, kao i -11 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Saberite 49 i 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Opozit broja -7 je 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{7±15}{8} kada je ± plus. Saberite 7 i 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Svedite razlomak \frac{22}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{7±15}{8} kada je ± minus. Oduzmite 15 od 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Podijelite -8 sa 8.

$$n=-1$$

Jednačina je riješena.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Podijelite -\frac{7}{4}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{8}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{8} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{8} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Saberite \frac{11}{4} i \frac{49}{64} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktorirajte n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Pojednostavite.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Dodajte \frac{7}{8} na obje strane jednačine.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$