Riješi 4k^2+12k+9=0

$$4 k ^ { 2 } + 12 k + 9 = 0$$

Riješite za k

$$k = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4k^{2}+ak+bk+9. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 12.

$$a=6 b=6$$

Ponovo napišite 4k^{2}+12k+9 kao \left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right).

$$\left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right)$$

Isključite 2k u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$2k\left(2k+3\right)+3\left(2k+3\right)$$

Izdvojite obični izraz 2k+3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2k+3\right)\left(2k+3\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(2k+3\right)^{2}$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2k+3=0.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4k^{2}+12k+9=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, 12 i b, kao i 9 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od 12.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i 9.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Saberite 144 i -144.

$$k=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$k=-\frac{12}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$k=-\frac{12}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-12}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4k^{2}+12k+9=0$$

Oduzmite 9 s obje strane jednačine.

$$4k^{2}+12k+9-9=-9$$

Oduzimanjem 9 od samog sebe ostaje 0.

$$4k^{2}+12k=-9$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4k^{2}+12k}{4}=-\frac{9}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$k^{2}+\frac{12}{4}k=-\frac{9}{4}$$

Podijelite 12 sa 4.

$$k^{2}+3k=-\frac{9}{4}$$

Podijelite 3, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{3}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{3}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$k^{2}+3k+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{3}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$k^{2}+3k+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Saberite -\frac{9}{4} i \frac{9}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$k^{2}+3k+\frac{9}{4}=0$$

Faktor k^{2}+3k+\frac{9}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavite.

$$k+\frac{3}{2}=0 k+\frac{3}{2}=0$$

Oduzmite \frac{3}{2} s obje strane jednačine.

$$k=-\frac{3}{2} k=-\frac{3}{2}$$

Jednačina je riješena. Rješenja su ista.

$$k=-\frac{3}{2}$$