Riješi 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 4 sa x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Oduzmite 169 od 4 da biste dobili -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4x^{2}+ax+bx-165. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 8.

$$a=-22 b=30$$

Ponovo napišite 4x^{2}+8x-165 kao \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 15 drugoj grupi.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Izdvojite obični izraz 2x-11 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-11=0 i 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 4 sa x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Oduzmite 169 od 4 da biste dobili -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, 8 i b, kao i -165 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Saberite 64 i 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-8±52}{8} kada je ± plus. Saberite -8 i 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Svedite razlomak \frac{44}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-8±52}{8} kada je ± minus. Oduzmite 52 od -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-60}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 4 sa x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Oduzmite 169 od 4 da biste dobili -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Dodajte 165 na obje strane. Bilo šta plus nula daje sebe.

$$4x^{2}+8x=165$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Podijelite 8 sa 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Podijelite 2, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili 1. Zatim dodajte kvadrat od 1 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Izračunajte kvadrat od 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Saberite \frac{165}{4} i 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$