Riješi 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -4 i b, kao i -16 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Saberite 16 i 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Opozit broja -4 je 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} kada je ± plus. Saberite 4 i 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Podijelite 4+4\sqrt{17} sa 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} kada je ± minus. Oduzmite 4\sqrt{17} od 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Podijelite 4-4\sqrt{17} sa 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Dodajte 16 na obje strane jednačine.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Oduzimanjem -16 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Oduzmite -16 od 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Podijelite -4 sa 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Podijelite 16 sa 4.

$$x^{2}-x=4$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Saberite 4 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$