Riješi 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -4.

$$a=-10 b=6$$

Ponovo napišite 4x^{2}-4x-15 kao \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz 2x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-5=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -4 i b, kao i -15 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Saberite 16 i 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Opozit broja -4 je 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±16}{8} kada je ± plus. Saberite 4 i 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Svedite razlomak \frac{20}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±16}{8} kada je ± minus. Oduzmite 16 od 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-12}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Dodajte 15 na obje strane jednačine.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanjem -15 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Podijelite -4 sa 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Saberite \frac{15}{4} i \frac{1}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$