Riješi 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4x^{2}+ax+bx-7. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -12.

$$a=-14 b=2$$

Ponovo napišite 4x^{2}-12x-7 kao \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Izdvojite 2x iz 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Izdvojite obični izraz 2x-7 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-7=0 i 2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -12 i b, kao i -7 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Saberite 144 i 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

Opozit broja -12 je 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{12±16}{8} kada je ± plus. Saberite 12 i 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Svedite razlomak \frac{28}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{12±16}{8} kada je ± minus. Oduzmite 16 od 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-4}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Dodajte 7 na obje strane jednačine.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Oduzimanjem -7 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Oduzmite -7 od 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Podijelite -12 sa 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Podijelite -3, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{3}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{3}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{3}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Saberite \frac{7}{4} i \frac{9}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Dodajte \frac{3}{2} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$