Riješi 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Riješite za x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 120 s obje strane.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-30. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 1.

$$a=-5 b=6$$

Ponovo napišite x^{2}+x-30 kao \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Isključite x u prvoj i 6 drugoj grupi.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4x^{2}+4x=120$$

Oduzmite 120 s obje strane jednačine.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Oduzimanjem 120 od samog sebe ostaje 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, 4 i b, kao i -120 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Saberite 16 i 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±44}{8} kada je ± plus. Saberite -4 i 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Podijelite 40 sa 8.

$$x=5$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±44}{8} kada je ± minus. Oduzmite 44 od -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Podijelite -48 sa 8.

$$x=-6$$

Jednačina je riješena.

$$x=5 x=-6$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Podijelite 4 sa 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Podijelite 120 sa 4.

$$x^{2}+x=30$$

Podijelite 1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Saberite 30 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$x=5 x=-6$$