Riješi 4a^2-5a+1=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+1 = 0$$

Riješite za a

$$a=\frac{1}{4}=0,25$$

$$a=1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4a^{2}+aa+ba+1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -5.

$$a=-4 b=-1$$

Ponovo napišite 4a^{2}-5a+1 kao \left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right).

$$\left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right)$$

Isključite 4a u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$4a\left(a-1\right)-\left(a-1\right)$$

Izdvojite obični izraz a-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(a-1\right)\left(4a-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite a-1=0 i 4a-1=0.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -5 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Saberite 25 i -16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 9.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Opozit broja -5 je 5.

$$a=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$a=\frac{5±3}{8}$$

Sada riješite jednačinu a=\frac{5±3}{8} kada je ± plus. Saberite 5 i 3.

$$a=\frac{8}{8}$$

Podijelite 8 sa 8.

$$a=1$$

Sada riješite jednačinu a=\frac{5±3}{8} kada je ± minus. Oduzmite 3 od 5.

$$a=\frac{2}{8}$$

Svedite razlomak \frac{2}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$4a^{2}-5a=-1$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{4}$$

Podijelite -\frac{5}{4}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{8}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{8} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{8} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Saberite -\frac{1}{4} i \frac{25}{64} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktor a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Pojednostavite.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Dodajte \frac{5}{8} na obje strane jednačine.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$