Riješi 3z^2-z-5=0

$$3 z ^ { 2 } - z - 5 = 0$$

Riješite za z

$$z = \frac{\sqrt{61} + 1}{6} \approx 1,468374946$$

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}\approx -1,135041613$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -1 i b, kao i -5 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -5.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

Saberite 1 i 60.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} kada je ± plus. Saberite 1 i \sqrt{61}.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6}$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} kada je ± minus. Oduzmite \sqrt{61} od 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Jednačina je riješena.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Dodajte 5 na obje strane jednačine.

$$3z^{2}-z-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Oduzimanjem -5 od samog sebe ostaje 0.

$$3z^{2}-z=-\left(-5\right)$$

Oduzmite -5 od 0.

$$3z^{2}-z=5$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3z^{2}-z}{3}=\frac{5}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z=\frac{5}{3}$$

Podijelite -\frac{1}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{6}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

Saberite \frac{5}{3} i \frac{1}{36} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

Faktor z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Pojednostavite.

$$z-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} z-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Dodajte \frac{1}{6} na obje strane jednačine.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$