Riješi 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Riješite za x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$3x-5y=4$$

Dodajte 5y na obje strane jednačine.

$$3x=5y+4$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Zamijenite \frac{5y+4}{3} za x u drugoj jednačini, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Pomnožite 9 i \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Saberite 15y i -2y.

$$13y+12=7$$

Oduzmite 12 s obje strane jednačine.

$$13y=-5$$

Podijelite obje strane s 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Zamijenite -\frac{5}{13} za y u x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Pomnožite \frac{5}{3} i -\frac{5}{13} tako što ćete pomnožiti brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. Zatim reducirajte razlomak na najniže termine ako je moguće.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Saberite \frac{4}{3} i -\frac{25}{39} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Da bi 3x i 9x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 9 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Pojednostavite.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Oduzmite 27x-6y=21 od 27x-45y=36 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Saberite 27x i -27x. Izrazi 27x i -27x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-45y+6y=36-21$$

Saberite -45y i 6y.

$$-39y=36-21$$

Saberite 36 i -21.

$$-39y=15$$

Podijelite obje strane s -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Zamijenite -\frac{5}{13} za y u 9x-2y=7. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Pomnožite -2 i -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Oduzmite \frac{10}{13} s obje strane jednačine.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Podijelite obje strane s 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$