Riješi 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Faktor

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Koraci za rješenje

Pomnožite i kombinirajte ekvivalentne izraze.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Da biste faktorirali izraz, riješite jednačinu gdje izraz iznosi 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -16 i q dijeli uvodni koeficijent 3. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-4$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 sa x+4 da biste dobili 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Da biste faktorirali rezultat, riješite jednačinu gdje rezultat iznosi 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -4 i q dijeli uvodni koeficijent 3. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-4$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite 3x^{3}+12x^{2}-x-4 sa x+4 da biste dobili 3x^{2}-1. Da biste faktorirali rezultat, riješite jednačinu gdje rezultat iznosi 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 3 sa a, 0 sa b i -1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Riješite jednačinu 3x^{2}-1=0 kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ponovo napišite faktorirani izraz pomoću dobijenog korijena. Polinom 3x^{2}-1 nije faktoriran budući da nema nijedan racionalni korijen.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Procijeni

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Koraci za rješenje

Kombinirajte 48x^{2} i -x^{2} da biste dobili 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$