Riješi 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -8 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Saberite 64 i 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 76.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Opozit broja -8 je 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} kada je ± plus. Saberite 8 i 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Podijelite 8+2\sqrt{19} sa 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{19} od 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Podijelite 8-2\sqrt{19} sa 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Podijelite -\frac{8}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{4}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{4}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{4}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Saberite \frac{1}{3} i \frac{16}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Dodajte \frac{4}{3} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$