Riješi 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Riješite za x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx+84. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -32.

$$a=-18 b=-14$$

Ponovo napišite 3x^{2}-32x+84 kao \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Isključite 3x u prvoj i -14 drugoj grupi.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Izdvojite obični izraz x-6 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-6=0 i 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -32 i b, kao i 84 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Saberite 1024 i -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Opozit broja -32 je 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{32±4}{6} kada je ± plus. Saberite 32 i 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Podijelite 36 sa 6.

$$x=6$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{32±4}{6} kada je ± minus. Oduzmite 4 od 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Svedite razlomak \frac{28}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Oduzmite 84 s obje strane jednačine.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Oduzimanjem 84 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Podijelite -84 sa 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Podijelite -\frac{32}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{16}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{16}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{16}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Saberite -28 i \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Dodajte \frac{16}{3} na obje strane jednačine.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$