Riješi 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -20 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Saberite 400 i -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Opozit broja -20 je 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} kada je ± plus. Saberite 20 i 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Podijelite 20+2\sqrt{97} sa 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{97} od 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Podijelite 20-2\sqrt{97} sa 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Podijelite -\frac{20}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{10}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{10}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{10}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Saberite -\frac{1}{3} i \frac{100}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Dodajte \frac{10}{3} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$