Riješi 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Riješite za x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-16. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -2.

$$a=-8 b=6$$

Ponovo napišite 3x^{2}-2x-16 kao \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Isključite x u prvoj i 2 drugoj grupi.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-8 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-8=0 i x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -2 i b, kao i -16 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Saberite 4 i 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Opozit broja -2 je 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±14}{6} kada je ± plus. Saberite 2 i 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Svedite razlomak \frac{16}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±14}{6} kada je ± minus. Oduzmite 14 od 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Podijelite -12 sa 6.

$$x=-2$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Dodajte 16 na obje strane jednačine.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Oduzimanjem -16 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Oduzmite -16 od 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Podijelite -\frac{2}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Saberite \frac{16}{3} i \frac{1}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dodajte \frac{1}{3} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$